Question

导数求切线方程，已知过曲线一点求切线方程和已知过曲线外一点求切线方程的区别是什么？

Answer 1

比如y=x^2,
用导数求过(2,3)点的切线方程
设切点(m,n),
其中n=m^2
由y'=2x,
得切线斜率k=2m
切线方程：y-n=2m(x-m),
y-m^2=2mx-2m^2,
y=2mx-m^2
因为切线过点(2,3),
所以3=2m*2-m^2,
m^2-4m+3=0
m=1或m=3
切线有两条：m=1时，y=2x-1；m=3时，y=6x-9.
求过曲线外一点的切线方程，通常是先设切点，根据切点参数写出切线方程，再将切点的坐标代入，求出切点参数，最后写出切线方程。

Answer 2

记曲线为f(x),
点M(a,b).在曲线上,则可直接写出过M的切线为：y=f'(a)(x-a)+b
点M(a,b).不在曲线上,则过M点且与曲线相切的直线为：y=k(x-a)+b,需要求k,令此切线与曲线的切点为xo,k=f'(xo),xo为方程
f'(x)(x-a)+b=f(x),的解.解此方程即得xo,进而k=f(x0).注意可能有多个xo解.