Question

在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A=120°，B

在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A=120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．（1）若BC=a=20，求储存区域面积的最大值；（2）若AB=AC=10，在折线MBCN内选一点D，使BD+DC=20，求四边形储存区域DBAC的最大面积．

Answer 1

（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．
由20²=x²+y²-2xycos120°≥2xy-2xycos120°，
得xy≤

202

2?2cos120°

＝

202

4sin260°

．
∴S＝

1

2

xysin120°≤

1

2

?

202

4sin260°

?2sin60°cos60°＝

202cos60°

4sin60°

＝

202

4tan60°

＝

100 3

3

．
即四边形DBAC面积的最大值为

100 3

3

，当且仅当x＝y时取到．
（2）由DB+DC=20，知点D在以B，C为焦点的椭圆上，
∵S△ABC＝

1

2

×10×10×

3

2

＝25

3

，
∴要使四边形DBAC面积最大，只需△DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．
由BC＝10

3

，得短半轴长b=5，S_△BCD面积的最大值为