Question

想彻底搞明白广义相对论，必须看一遍微分几何吗

Answer 1

不知道你指的搞明白是什么意思，如果指大概明白主干内容的基本概念，并在某个相关领域具有一点点研究能力，肯定需要一点微分几何，但是肯定不用“看一遍微分几何”，这里说的“看一遍微分几何”指找一本专门的《微分几何》数学教材看一遍。
数学和物理的研究兴趣是不一样的，就算看完一本很厚很专业的数学书，回到物理问题中也会感觉根本用不上（甚至记号都往往不一致，初学的时候会很麻烦），这样还不如直接做数学。一般来说广相教材里会有必要的微分几何知识，有的多些并且稍数学些（比如梁灿彬，Wald）有的少些物理些（比如Sean Carroll），只能说大致涵盖了“微分流形”的最基础的内容，但如果只是学广相最基本的内容就足够了。当然如果要进一步深入，或许在不同的领域需要看更多不同的数学，但也是需要什么看什么（比如可能涉及很专门或偏门的数学理论，基本的数学教材里不会写到的），没必要一开始就啃一本数学书。
当然，以上的说法只对应一般初学者，达到字面理解的程度，天才或大牛的视界就不懂了。