Question

微分几何

Answer 1

[a.b]上，f〃＞0--→f′↗ （用Lagrange定理）。

如图，f1（x）＝[（f（b）-f（a））/（b-a）]（x-a）+f（a）[图中直线]

在意证明[a.b]上f′↗---→f（x）＜f1（x）[从而 曲边梯形＜梯形]

令x＝λa+（1-λ）b [λ∈[0,1]]   [这可以表示[a,b]的所有x]

则f1（x）＝λf（a）+（1-λ）f（b）[请 空定兄 自验啦！]

f（x）＜f1（x）成为f（x）-λf（a）-（1-λ）f（b）＜0①

注意f（x）＝λf（x）+（1-λ）f（x）

①等价于λ[f（x）-f（a）]+（1-λ）[f（x）-f（b）]＜0②

从Lagerange定理 存在ξ,η:ξ∈（a,x）,η∈（x,b）

λ[f（x）-f（a）]+（1-λ）[f（x）-f（b）]＝

＝λf'（ξ）（x-a）+（1-λ）f'（η）（x-b）＝

[注意  x-a＝[λa+（1-λ）b]-a＝（1-λ）（b-a）,x-b＝λ（a-b）]

＝λf'（ξ）（1-λ）（b-a）+（1-λ）f'（η）λ（a-b）

＝λ（1-λ）（b-a）[f'（ξ）-f'（η）]＜0  [ξ＜η,f'↗].证毕。