Question

相对论多普勒公式推导

关于相对论的多普勒频移公式
（ν'=γν（1-ucosθ/c））
希望各位高手给出详细的推导过程，一定要详细。
回答满意在加30分！
光子的相对论多普勒频移公式：
ν'=γν（1-ucosθ/c）
证明：
通过速度变换和质能方程（E=Mc^2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E'=γE(1-u*v/c^2)
(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做：
E'=γE(1-uv（x）/c^2))
上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：
ν'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)
对于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）
利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：
p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))
p(y)'=p(y)
p(z)'=p(z)
动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。
楼主有空可以去幽灵蝶吧参观一下，那里有一些关于相对论的公式。
参考资料：幽灵蝶吧
根据这个帖子，我进行了计算，结论是完全错误的，E'=γE(1-u*v/c^2) 辞工是不存在！我不知道这样一来这个所谓的相对论的多普勒频移公式是否真确！

Answer 1

证明：设S系相对S'系沿x轴正向以速度u运动，物质在S系中以速度v[v(x),v(y),v(z)]运动，其能量为E=Eo/√(1-v^2/c^2)，则由相对论速度变换，物质在S'系中的速度为
v'(x')=[v(x)-u]/[1-uv(x)/c^2]=[v(x)-u]/[1-v*u/c^2],
v'(y')=v(y)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2],
v'(z')=v(z)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2].
因 v'^2=v'(x')^2+v'(y')^2+v'(z')^2
=[v(x)^2-2v*u+u^2+v(y)^2(1-u^2/c^2)+v(z)^2(1-u^2/c^2)]/[1-v*u/c^2]^2
=[u^2-2v*u+v^2-(uv)^2/c^2+(u*v)^2/c^2]/[1-v*u/c^2]^2
故 1-v'^2/c^2=(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)/[1-v*u/c^2]^2
于是物质在S'系中的能量为
E'=Eo/√(1-v'^2/c^2)=Eo(1-v*u/c^2)/√[(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)]
=E(1-v*u/c^2)/√(1-u^2/c^2)
=γE(1-u*v/c^2).
上式对任意粒子都成立。在这里，S为光源所在参照系，S'为观察者所在参照系，E为光子能量(E=hν)，v'=v=c，将E=hν代入得：
ν'=γν(1-u*v/c^2)=γν（1-ucosθ/c）.