Question

【2009年高考数学四川卷理科第12题】详细解答过程

已知函数F（x）是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xF（x+1)=（1+x）*F（x），则F[F(5/2)]的值是？

Answer 1

解：因为对任意实数x都有xF（x+1)=（1+x）*F（x），
当x=0时，上式左边＝0，右边＝F(0)，所以 F(0)＝0
当 x=－1/2时，xF（x+1)=－F(1/2)/2，
（1+x）*F（x）＝F(－1/2)/2＝F(1/2)/2 （F(x)为偶函数，F(－1/2)＝F(1/2) ）
所以 －F(1/2)/2＝F(1/2)/2，解得：F(1/2)＝0

将xF（x+1)=（1+x）*F（x）变形为：F（x+1)=（1+x）*F（x）/x
所以 F(3/2)=(3/2) * F(1/2) /(1/2)＝0
F(5/2)=(5/2) * F(3/2) /(3/2)＝0
所以 F[F(5/2)]＝F(0)＝0

Answer 2

可以变形xF（x+1)=（1+x）*F（x），为F(x+1)/（x+1）=F(X)/X,所以F(X)/X的周期为 1

所以我们可以取函数F(X)=Xsin（2pix），则F(5/2）=0，F[F(5/2)] =0