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1、先考虑由条件a^2=b(b+c)来推出A=2B:
条件化为a^2-b^2=bc,有cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(c^2-bc)/2bc=(c-b)/2b,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2+bc)/2ac=(c+b)/2a,
则cos2B=2(cosB)^2-1=2*(c+b)^2/4a^2-1=(c+b)^2/2a^2-1,把a^2=b(b+c)代入上式得:
cos2B=(c+b)/2b-1=(c-b)/2b=cosA,A、B同为一个三角形的内角,有A=2B
2、反过来,也容易证明。若A=2B,由正弦定理:
sinA=asinB/b=sin2B=2sinBcosB,有cosB=a/2b结合余弦定理,则
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=a/2b,化简即得:a^2=b(b+c)。
因而,两者关系为“充要关系”,答案选A。
条件化为a^2-b^2=bc,有cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(c^2-bc)/2bc=(c-b)/2b,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2+bc)/2ac=(c+b)/2a,
则cos2B=2(cosB)^2-1=2*(c+b)^2/4a^2-1=(c+b)^2/2a^2-1,把a^2=b(b+c)代入上式得:
cos2B=(c+b)/2b-1=(c-b)/2b=cosA,A、B同为一个三角形的内角,有A=2B
2、反过来,也容易证明。若A=2B,由正弦定理:
sinA=asinB/b=sin2B=2sinBcosB,有cosB=a/2b结合余弦定理,则
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=a/2b,化简即得:a^2=b(b+c)。
因而,两者关系为“充要关系”,答案选A。
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