一道三重微分的题目！！
∫∫∫z*(x²+y²+z²)^(-1.5)Ω其中Ω为区域x²+y²+z²-2rz≤0即以(0,0,r)为球心...
∫∫∫z*(x²+y²+z²)^(-1.5)
Ω
其中Ω为区域 x²+y²+z²-2rz ≤ 0
即以(0,0,r)为球心，r为半径的球体
麻烦求解一下 展开
Ω
其中Ω为区域 x²+y²+z²-2rz ≤ 0
即以(0,0,r)为球心，r为半径的球体
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令x=acosθsinφ，y=asinθsinφ，z=acosφ
因为x²+y²+z²-2rz≤0，所以带入上面参数化简有a²-2racosφ≤0
所以，参数积分区域0≤a≤2rcosφ，0≤θ≤2π，0≤φ≤π/2
故
∫∫∫z*(x²+y²+z²)^(-1.5)
=∫∫∫acosφ*(a²)^(-1.5)*a²sinφdadθdφ
=∫∫∫cosφsinφdadθdφ
=∫cosφsinφdφ∫da∫dθ
=4πr∫cos²φsinφdφ
=-(4/3)πrcos³φ
=4πr/3
因为x²+y²+z²-2rz≤0，所以带入上面参数化简有a²-2racosφ≤0
所以，参数积分区域0≤a≤2rcosφ，0≤θ≤2π，0≤φ≤π/2
故
∫∫∫z*(x²+y²+z²)^(-1.5)
=∫∫∫acosφ*(a²)^(-1.5)*a²sinφdadθdφ
=∫∫∫cosφsinφdadθdφ
=∫cosφsinφdφ∫da∫dθ
=4πr∫cos²φsinφdφ
=-(4/3)πrcos³φ
=4πr/3
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
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