Question

求y=1+ln(x+2)的反函数及定义域

Answer 1

y=1+ln(x+2)的反函数：-2+e^(x-1)。

解答过程如下：

f(x)=1+ln(x+2)

y=1+ln(x+2)

ln(x+2)=y-1

x+2=e^(y-1)

x=-2+e^(y-1)

x，y位置互换

y=-2+e^(x-1)

即原函数的反函数为f^(-1)(x)=-2+e^(x-1)

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

扩展资料

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

Answer 2

首先，原函数的定义域为： (-2,正无穷)
原函数的值域为： R
y-1=ln(x+2)
e^(y-1)=x+2
x=e^(y-1)-2
反函数为： y=e^(x-1)-2 反函数的定义域是R,值域是(-2,正无穷)

Answer 3

解：ln(x+2)=y-1，∴x+2=e^(y-1),x=-2+e^(y-1);∴反函数为：y=-2+e^(x-1),定义域为：x∈R

Answer 4

解：
y=1+ln(x+2)
y-1=ln(x+2)
e^(y-1)=x+2
得x=e^(y-1)-2
所以反函数y=e^(x-1)-2，定义域:{x|x∈R}

Answer 5

因为对数函数中e= 2.718281828459 ，ln（x+2）=loge（x+2）
根据反函数定义:反函数的定义域是原函数的值域，反函数值域也正好是原函数的定义域。
y=1+ln(x+2)
x=1+ln(y+2)
通过移项得，
x-1=ln(y+2)
loge(y+2)=x-1
e(x+1)=y+2
e^x+0=y+2
y=e^x-2（这就是函数y=1+ln(x+2)的反函数)
据反函数定义得，
函数y=1+ln(x+2)的定义域为R