Question

求曲线的切线斜率和切线方程

对导数这章(选修课)的概念和求导运算不是狠懂,麻烦你用最通俗的语言扼要地表达下，
1、导数的概念？
2、导数的作用？
3、导数的运算？
4、极值和最值是什么意思?
5、这些符号lim和小三角形+x(是不是念贝尔塔x)、lim在上方,小三角形+x在下方 怎么念？
再结合以下两个例子加强下理解:
例题1.曲线y=2x^2+3在点(-1,5)处的切线的斜率是_______________?
例题2.曲线y=x^3+1在点(1,2)处的切线方程是__________________?
请给出详细的解答过程,比如套什么公式之类的。

谢谢。

Answer 1

例题1.曲线y=2x^2+3在点(-1,5)处的切线的斜率是_______________?
直接求导数，得y'=4x，代入x=-1得y'=-4，所以斜率为-4
例题2.曲线y=x^3+1在点(1,2)处的切线方程是__________________?
先求导，y'=3x^2，代入x=1得y'=3
令切线方程为y=3x+b，3为刚刚求得的斜率，因为点(1,2)既经过原直线又经过切线，代入求得b=-1

所以切线方程为y=3x-1

追问

导数那章所谓的极限、最值、驻点到底是什么意思？

追答

通俗语言解释下：
极限：简单的说就是函数f(x)中，自变量x无限趋近于某个值时函数趋近的值
最值：就是在一定取值范围内的最大、最小值
驻点：函数某个点的值，代入函数的导数公式，使得值为0的点称为函数的驻点

手打得那么辛苦竟然采纳了网上copy的为答案，楼主，我对你无力吐槽。

Answer 2

图片

追问

哥们，解释下图片嘛

追答

万恶的，我打的字都没了啊。好吧重新解释。
导数不好重新定义，作用什么的上边都解释的不错。我就不重复了。
导数的运算有两种，一种是定义法，一种是公式法。定义法呢除非题目要求都不用。太难，牵扯到极限什么的。公式法呢比较常用，需要记住各种运算公式及规则，这我就挨个说了啊，所有的公式都要背过。然后关于极值最值问题就是从图中看。我通俗的说，极值就是这个点的左边和右边最挨着它的都比他大或者都比它小。图中ABC为极值，AC点最挨着它的两边都比它小，所以两个的值也就是y值都是极大值。B点最挨着它的两边都比它大，所以两个的值也就是y值都是极小值。DE不是极值的原因就是他只是一边有值一边没有，D点左边没有值，E点右边没有值。其余点不是极值的原因就是其余点都是一边比它大一边比它小。举个例子，BC点DA点之间都是右边比它小左边比它大。AB点和CE点之间所有点都是右边比它大左边比它小。他们也都不是极值点。最值呢就是函数在整个定义域内的最大值和最小值，最大值就是没有比它还大的，最小值就是没有比她还小的。就图中看最大值是C点对应的y值，最小值是E点对应的值。
例题他们解释的也很清楚。我就说一点，f（x）=ag（x），则f'(x)=ag'(x) h(x)=f(x)+g(x),则h'(x)=f'(x)+g'(x).若f(x)=C(C是任意常熟)，则f'（x）=0,当然这个公式可以套用幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R)这个公式，把n=0带进去就行。

Answer 3

1、曲线的切线斜率和切线方程：

例题1、曲线y=2x^2+3在点(-1，5)处的切线的斜率是直接求导数，得y'=4x，代入x=-1得y'=-4，所以斜率为-4。

例题2、曲线y=x^3+1在点(1，2)处的切线方程是先求导，y'=3x^2，代入x=1得y'=3。

令切线方程为y=3x+b，3为刚刚求得的斜率，因为点(1，2)既经过原直线又经过切线，代入求得b=-1，所以切线方程为y=3x-1。

2、导数的概念：导数，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

3、导数的作用：求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

4、导数的运算：由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

5、极值和最值的意思：

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

6、lim：数学术语，表示极限（limit）。读成“无限趋近”。

扩展资料：

（1）顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。斜坡上两点A，B间的垂直距离h（铅直高度）与水平距离l（水平宽度）的比叫做坡度（或叫做坡比），如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，那么；坡度越大<=>α角越大<=>坡面越陡，所以i=tanα可以反映坡面倾斜的程度。

如今我们学习的斜率k，等于所对应的直线（有无数条，它们彼此平行）的倾斜角（只有一个）α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。

（2）解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单。如果只用倾斜角一个概念，那么它在实际上相当于反正切函数值arctank，难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复杂。

（3）坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线（即x轴的垂线）没有斜率。在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论。

参考资料来源：百度百科--lim

参考资料来源：百度百科--函数最值

参考资料来源：百度百科--极值

参考资料来源：百度百科--导数

Answer 4

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
作用：导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数的运算1下子说不清楚
极大值不一定比极小值大. 极值是局部的性质（比如天朝在周边的国家里面是最强大的），最值是整体的性质（米国）
例题1.曲线y=2x^2+3在点(-1,5)处的切线的斜率是 y′=4x=-4
例题2.曲线y=x^3+1在点(1,2)处的切线方程是______y′=3x^2 套公式就好
2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R)