Question

d∫2x^2sin(x+1)dx=

Answer 1

问：d∫2x^2sin(x+1)dx=

答：根据积分的线性性质，可以把常数项 2d 提到积分符号的外面：d∫2x^2sin(x+1)dx = 2d∫x^2sin(x+1)dx接下来考虑利用分部积分法，将积分中的 x^2 逐步降次。具体来说，令 u = x^2，dv = sin(x+1)dx，那么：du/dx = 2x，v = -cos(x+1)根据分部积分公式，有：∫u dv = uv - ∫v du带入上述值，得到：∫x^2sin(x+1)dx = -x^2cos(x+1) + 2∫xcos(x+1)dx接下来，再利用分部积分法，将积分中的 x 逐步降次。令 u = x，dv = cos(x+1)dx，那么：du/dx = 1，v = sin(x+1)根据分部积分公式，有：∫u dv = uv - ∫v du带入上述值，得到：∫xcos(x+1)dx = xsin(x+1) - ∫sin(x+1)dx再次应用分部积分法，令 u = 1，dv = sin(x+1)dx，那么：du/dx = 0，v = -cos(x+1)根据分部积分公式，有：∫u dv = uv - ∫v du带入上述值，得到：∫sin(x+1)dx = -cos(x+1)综合以上结果，得到：d∫2x^2sin(x+1)dx = 2d(-x^2cos(x+1) + 2xcos(x+1) + 2sin(x+1)) + C其中，C 是积分常数。