Question

如何解释y=x的绝对值的导数

Answer 1

1）根据导数的定义
函数 y＝│x│是连续函数,但是 y＝-x (x≤0),y＝x (x＞0),则在 x＝0 处,
其左导数为 lim[f(0+△x)-f(0)]/△x＝[0-△x-0]/△x＝ -△x/△x＝-1,
其右导数为 lim[f(0+△x)-f(0)]/△x＝(0+△x-0)/△x＝ △x/△x＝1,
在 x＝0 处左右导数并不相等,所以 y＝│x│在 x＝0 处不可导.
而对于函数 y＝ x^(1/3),导函数为 y'＝[x^(-2/3)]/3,在 x＝0 处 y'→∞,
即 在 x＝0 处左右“导数”皆非有限值,不符合可导的定义.
（2)图像法
作图可知 y＝│x│的图像为折线,在 x＝0 处左右导数分别是 -1、1,所以原函数
在 x＝0 处不可导；
y＝ x^(1/3) 的图像在 x＝0 处左、右部分均和 y 轴相切,而 y 轴“斜率”为 ∞
即原函数 在 x＝0 处的“导数”为 ∞,于是 原函数 在 x＝0 处不可导.