Question

x^2y'–y=x^2e^x-1/x和(x^2+1)dy/dx+2xy=sinx如何求解？？〒_〒

Answer 1

（6）。求微分方程 x²y'-y=x²e^(x-1/x)的通解
解：先求齐次方程x²y'-y=0的通解：
分离变量得 dy/y=dx/x²；积分之得lny=-1/x+lnc₁;
故齐次方程的通解为y=e^(1/x+lnc₁)=c₁e^(-1/x),
将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-1/x)............(1)
将(1)的两边对x取导数得： y'=u'e^(-1/x)+(1/x²)ue^(-1/x)........(2)
将(1)(2)代入原式得： x²[u'e^(-1/x)+(1/x²)ue^(-1/x)]-ue^(-1/x)=x²e^(x-1/x)
化简得 x²u'e^(-1/x)=x²e^(x-1/x)
消去公共因子，得u'=e^x；故u=∫e^xdx=e^x+c
代入(1)式即得原方程的通解为：y=(e^x+c)e^(-1/x)=e^(x-1/x)+ce^(-1/x)
(4).求微分方程 (x²+1)(dy/dx)+2xy=sinx的通解
解：先求齐次方程(x²+1)(dy/dx)+2xy=0的通解：
分离变量得 dy/y=-[2x/(x²+1)]dx
积分之得lny=-∫[2x/(x²+1)]dx=-∫d(x²+1)/(x²+1)=-ln(x²+1)+lnc₁=ln[c₁/(x²+1)]
故齐次方程的通解为 y=c₁/(x²+1);
将c₁换成x的函数u ，得 y=u/(x²+1)...........(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)²...........(2)
将(1)(2)代入原式得：[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)+2xu/(x²+1)=sinx
化简得 u'=sinx，∴u=∫sinxdx=-cosx+c..........(3)
将(3)代入(1)式即得原方程的通解为：y=(c-cosx)/(x²+1).