Question

(arcsinx)^2的n阶导

高数高导
求下列函数所指定的阶的导数:
f(x)=(arcsinx)^2,求f(0)^(n)(f(0)的n阶导数).
在下苦手中```

Answer 1

f'(x)=2(arcsinx)/√（1-x^2)
f''(x)=2/（1-x^2)+2(arcsinx)*（1-x^2)^(-3/2)
f'''(x)=4x/（1-x^2)^2+2/（1-x^2)^2+10*(arcsinx)*（1-x^2)^(-5/2)
显然,
当n为奇数时,分子只含有x,arcsinx项.所以,f(0)^(n)=0
当n为偶数时,分子含有x,arcsinx项的全为0.只有含有所以1/（1-x^2)^n项不为零,则f(0)^(n)等于1/（1-x^2)^n项的系数.为2*(n-2)!
即:
f(0)^(n)=0 n为奇数
f(0)^(n)=2*(n-2)!n为偶数