Question

高二数学 已知a+b=c,求证:a的2/3次方+b的2/3次方>c的2/3次方

高二数学 已知a+b=c,求证:a的2/3次方+b的2/3次方>c的2/3次方

拜托各位啦！

Answer 1

证明 设x,y,z为正实数，
令a=x^3,b=y^3,c=z^3。
则x^3+y^3=z^3。
所证不等式为:x^2+y^2>z^2.
记P=(x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2。
则
P=3x^2*y2*(x^2+y^2)-2x^3*y^3
=x^2*y^2(x-y)^2+2x^2*y2*(x^2+y^2)>0
即知P>0，所以(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
<==> (x^2+y^2)^3>z^6
上式开立方即得:x^2+y^2>z^2。
证毕

Answer 2

两边立方，
左边a^2+b^2+3a^(2/3)b^(4/3)+3a^(4/3)b^(2/3)
右边=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
左边-右边=a^(2/3)b^(2/3)[3b^(2/3)+3a^(2/3)-2a^(1/3)b^(1/3)]
=a^(2/3)b^(2/3){2b^(2/3)+2a^(2/3)+[a^(1/3)-b^(1/3)]^2}
>=0
等于的情况只有a=b=0