Question

高数：y"-y’-3y=3x+1的通解。。。。共3道题

1，y"-y’-3y=3x+1的通解；
2，方程（2x+1)(y^2+1)dx=2ydy满足条件y（0）=0的特解；
3，求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体。
就这3道题，忙一下忙啦~，要全部过程，回答的好，加分
y"-2y’-3y=3x+1的通解,不好意思，打错了，我会写了，谢了啊

Answer 1

1、该微分方程的通解即为y"-2y’-3y=0的通解。特征方程为：r^2-2r-3=0。
求出两个特征根，x1=3,x2=-1，则通解为：
y=C1*e^(3x)+C2*e^(-1x)，其中，C1、C2为常数。
2、先分离变量得：（2x+1)dx=[2y/(y^2+1)]dy=[d(y^2+1)]/(y^2+1)
两边同时积分，得：x^2+x=ln(y^2+1)+C; （C为常数）
代入y(0)=0得：C=0，即：x^2+x=ln(y^2+1)
所以特解为：ln(y^2+1)=x^2+x
3、以该球的球心为原点点O建立直角坐标系O-xyz，且内接的长方体上下表面平行于平面xoy，前后表面平行于平面xoz，左右表面平行于平面yoz。设该长方体任一顶点坐标为（x,y,z），则由对称性可求出其余顶点坐标。最后得出该长方体体积为：V=2x*2y*2z=8xyz。
又（x,y,z）为长方体顶点，则：x^2+y^2+z^2=a^2。
由均值不等式知：3*(（x^2）*(y^2)*(z^2))^(1/3)<=a^2 (取等条件为x=y=z)
整理得：xyz<=(a^3)/(3√3)
所以对体积有：V=8xyz<=8(a^3)/(3√3)
当x=y=z=a/√3时取等号。
此时，长方体为棱长为2a/√3的正方体，体积达到最大，为8(a^3)/(3√3)

Answer 2

1，题目是r^2-r-3=0(题目是不是抄错了，是不是减2)
（那麽那）=0不是特征根
y=ax+b带回得-a-3×(ax+b)=3x+1
a=-1,b=0
y=C1e^r1x+C2e^r2x-x
2，原式可化为（2x+1）dx=dy^2/(y^2+1)
x^2+x+c=ln(y^2+1).把x=y=0代入得c=0
3，为方便记半径为r，abc分别是长宽高，（a/2）^2+(b/2)^2+(c/2)^2=r^2
目标是abc最大
用拉格朗日函数L=abc+t[(a/2)^2+(b/2)^2+(c/2)^2-r^2]对abct求偏导都等于零得a=b=c=2r/(3^0.5)
打字打得好辛苦啊！

Answer 3

默算得出三题应该是：2√3a/3
其他的2题有公式，我忘记了，默不出来了，LX，看你的了，我也学习一下。

Answer 4

1，题目是r^2-r-3=0(题目是不是抄错了，是不是减2)
（那麽那）=0不是特征根
y=ax+b带回得-a-3×(ax+b)=3x+1
a=-1,b=0
y=C1e^r1x+C2e^r2x-x
2，原式可化为（2x+1）dx=dy^2/(y^2+1)
x^2+x+c=ln(y^2+1).把x=y=0代入得c=0
3，为方便记半径为r，abc分别是长宽高，（a/2）^2+(b/2)^2+(c/2)^2=r^2
目标是abc最大
用拉格朗日函数L=abc+t[(a/2)^2+(b/2)^2+(c/2)^2-r^2]对abct求偏导都等于零得a=b=c=2r/(3^0.5)
打字打得好辛苦啊 1、该微分方程的通解即为y"-2y’-3y=0的通解。特征方程为：r^2-2r-3=0。
求出两个特征根，x1=3,x2=-1，则通解为：
y=C1*e^(3x)+C2*e^(-1x)，其中，C1、C2为常数。
2、先分离变量得：（2x+1)dx=[2y/(y^2+1)]dy=[d(y^2+1)]/(y^2+1)
两边同时积分，得：x^2+x=ln(y^2+1)+C; （C为常数）
代入y(0)=0得：C=0，即：x^2+x=ln(y^2+1)
所以特解为：ln(y^2+1)=x^2+x
3、以该球的球心为原点点O建立直角坐标系O-xyz，且内接的长方体上下表面平行于平面xoy，前后表面平行于平面xoz，左右表面平行于平面yoz。设该长方体任一顶点坐标为（x,y,z），则由对称性可求出其余顶点坐标。最后得出该长方体体积为：V=2x*2y*2z=8xyz。
又（x,y,z）为长方体顶点，则：x^2+y^2+z^2=a^2。
由均值不等式知：3*(（x^2）*(y^2)*(z^2))^(1/3)<=a^2 (取等条件为x=y=z)
整理得：xyz<=(a^3)/(3√3)
所以对体积有：V=8xyz<=8(a^3)/(3√3)
当x=y=z=a/√3时取等号。
此时，长方体为棱长为2a/√3的正方体，体积达到最大，为8(a^3)/(3√3)