Question

定义在实数集R上的函数y=f(-x)的反函数是y=f^-1(-x)则__

这道题目是选择题。选的答案是“y=f(x)是奇函数”
请讲一下道理
关键是为什么得出-x = f(y)以后，X,Y可以无条件互换…… 理论上的依据……

Answer 1

由反函数 y = f^-1 (-x) 可知，-x = f(y); 由于求反函数中 用到了x，y互

换，所以换回去，可得原来 的函数 满足 -y = f(x);即 y = - f(x) = f(-x);

所以 函数 y = f(x) 奇函数。

Answer 2

思路：把反函数还原，与已知函数比较，利用奇函数定义来判断。

y=f^-1(-x)在x，y未互换之前是：x=f^-1(-y)，
故有-y=f(x),即y=-f(x).
由已知，y=f(-x),
∴f(-x)=-f(x)
∴是奇函数。

Answer 3

反函数的反函数就是它自己
所以由y=f^-1(-x)求反函数：
-x=f(y) 即 x=-f(y)
重新写y x（交换一下）后就是
y=-f(x)
这个就是反函数的反函数 也就是原来的函数
原来的函数题中给的是y=f(-x）
所以
y=-f(x)=f(-x)
所以f(x)是奇函数