Question

设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=

设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)＞0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得∫f(x)dx=∫f(x)dx。(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)

另希望能告诉一下这种类型的题目的解题思路是什么？

Answer 1

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一个积分限a到x，第二个积分限x到b），根据变上限积分的求导法则，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（积分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（积分限a到x），由于g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（积分限a到b），根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（积分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（积分限a到ξ），由于f(ξ)>0，上式两边除f(ξ)即得要证的等式。
这种题关键就在于构造辅助函数，一般将要证的式子变形，其中有ξ的地方换成x，为了用罗尔定理，就要让辅助函数在区间端点的函数值相等，且想办法让辅助函数的导函数等于0时的表达式和要证的等式尽可能相似。