首先，如果｜A|=0或者｜B|=0, |AB|=0必然成立，反之依然
所以只要证明AB满秩的情况
首先容易证明：当A或B为初等阵时等式成立；
由于满秩阵都可以由初等阵化来，所以可以写成
A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm，其中A0为A的对角化标准阵，易知｜A0B|=|A0|*|B|,所以
|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|
=|A||B|
补充：｜A0|=|A|,初等阵的行列式＝1
|AB|=|A||B|用两次拉普拉斯公式即证，可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。
对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对（k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。
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2024-04-02 广告
用分块矩阵的方法来证明：
| A 0|
|-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ① （E为单位矩阵）
注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值，第二块行左乘A加到第一块行,
| A 0|
|-E B|＝| 0 AB|
|-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②
t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）
|-E|＝（-1）^n,
注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数.
∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③
对照①②③,得到：|A||B|＝|AB|
扩展资料：
分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤。
分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。
首先，你得知道行列式的两个计算公式
其次，通过构造矩阵来证明
构造一个 （AB都为n阶）
| A O |
| -E B |
的分块行列式,然后通过行列式转换可以转换为：
（-1）^n | -E O |
| A C | （其中C=AB）
利用分块行列式的乘法
就可以证明|AB|=|A||B|了
扩展资料：
常见的数学公式：
正方形的面积=边长×边长 S=a×a；
长方形的面积=长×宽 S=a×b；
平行四边形的面积=底×高 S=a×h；
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2；
内角和：三角形的内角和=180度；
长方体的体积=长×宽×高 V=abc；
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 V=Sh；
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=aaa；
圆的面积=半径×半径×π S=πr2。
首先，得知道行列式的两个计算公式
其次，通过构造矩阵来证明
||用分块矩阵的方法来证明：
| A 0|
|-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ①（E为单位矩阵）
注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值，第二块行左乘A加到第一块行
| A 0|
|-E B|＝
| 0 AB|
|-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②
t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）
|-E|＝（-1）^n,注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数.
∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③
对照①②③,得到：|A||B|＝|AB|
扩展资料：
设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。
定理3 令A为n×n矩阵。
(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。
(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。
这些结论容易利用余子式展开加以证明。
参考资料来源：百度百科-矩阵行列式
