Question

设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x) xf′(x)<0且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为

Answer 1

解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（-4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（-4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（-4），即x＜-4
故所求的解集为（-∞，-4）∪（0，4）