Question

设L为曲线|x|+|y|=2的正向，则∮ L(x+y2)dx+x3dy|x|+|y|=______

设L为曲线|x|+|y|=2的正向，则∮ L(x+y2)dx+x3dy|x|+|y|=______．

Answer 1

∵L为曲线|x|+|y|=2的正向
∴∮L

(x+y2)dx+x3dy

|x|+|y|

＝

1

2

∮L(x+y2)dx+x3dy
=

1

2

?

∫∫

D

[

?

?x

(x3)?

?

?y

(x+y2)]dxdy
=

1

2

∫∫

D

(3x2?2y)dxdy＝

3

2

∫∫

D

x2dxdy?

∫∫

D

ydxdy
其中D为L所围成的区域，由于积分区域D是关于X轴和Y轴对称的，被积函数x²是关于x的偶函数，被积函数y是关于y的奇函数
∴由二重积分的对称性定理，设D₁是D在第一象限的部分，则
原式=

3

2

?4

∫∫

D1

x2dxdy?0＝6

∫

2 0

dx

∫

2?x 0

x2dy
=6

∫

2 0

x2(2?x)dx＝6?

4

3

＝8