Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C∥平面AB1D；

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求点A1到平面AB1D的距离．

Answer 1

解：（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱锥，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）连接DE．AA₁=AB，四边形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C，∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1?AB1D＝VB1?A1AD，所以

1

3

?

1

2

?

3

2

a?

5

2

a?d＝

1

3

?

1

2

?

3

2

a?a?

a

2

，
解得d＝

5

5

a．（12分）