Question

如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中

如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为______，位置关系为______（不证明）．（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是53AB53AB．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，
∵点P为DE的中点，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC．

（3）设AE=2x，则PE=PF=x，AP=

5

x，PB=AB-

5

x，
∵Rt△AEP∽Rt△FBP，
∴

x

AB? 5 x

=

5 x

x

，
∴x=

5

6

AB．
∴AE=2x=

5

3

AB．
故答案为PC=PF，PC⊥PF；

5

3

AB．