Question

（2002?广元）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．①求证：IE=BE；②线段IE是哪

（2002?广元）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．①求证：IE=BE；②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

Answer 1

①证明：连接BI．
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BIE=∠EBI；
∴IE=BE；

②解：考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中项．
证明如下：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠E=∠E，
∴△BED∽△AEB；
∴BE：DE=AE：BE；
∴BE²=AE?DE；
又∵IE=BE，
∴IE²=AE?DE．