Question

（2011?孝感模拟）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为P

（2011?孝感模拟）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥EF；（Ⅱ）求证：FG∥平面PAB．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD．
又ABCD为正方形，
∴CD⊥AD．
∵PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．-----------（3分）
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．
∵EF∥CD，
∴PA⊥EF．----------（6分）
（Ⅱ）取PA的中点H，连接FH，HB，
∵F，H，G分别是PD，PA，BC的中点，且ABCD为正方形，
∴FH∥AD，BG∥AD，
且FH=

1

2

AD，BG=

1

2

AD
∴FH∥BG，且FH=BG．
∴四边形FHBG是平行四边形．
∴FG∥HB．----------（10分）
又∵FG在平面PAB外，HB?平面PAB．
∴FG∥平面PAB．----------（12分）
（法二）∵F，H，G分别是PD，PA，BC的中点，且ABCD为正方形，
∴EF∥AB，EG∥PB，
由线面平行的判定定理可知，EF∥平面PAB，EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E
∴根据平面与平面平行的判定定理可得，平面EFG∥平面PAB
∵FG?平面EFG
∴FG∥平面PAB．