Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm， BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm， BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF从CD出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，且EF与BD交于点Q，连接PE、PF。当点P与点Q相遇时，所有运动停止。若设运动时间为t（s）.(1)求CD的长度(2)当PE//AB时，求t的值；(3)①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF中点时，则t的值为 （请直接写出答案）

Answer 1

（1）过点D作DM⊥BC，交BC于点M ∵AD//BC，∠A=90° ∴ DM=AB=8cm，BM=AD=6cm ∴CM="4cm," ∴CD= cm （2）由题意可求BD=10cm，BP=t, ∴DP="10-t"   DE=t ∵PE//CD ∴△DPE∽△DBA ∴   即 解得t= （3）①过点B作BH⊥CD，交于点H，过点P作PG⊥EF，交于点G， ∵BD=BC=10cm，CD=  cm ∴DH=  cm ∴BH=  cm ∵EF//CD     易证， EF=CD=  ，DQ=DE=t， ∴QP=BD-BP-DQ=10-2t 可证 △QPG∽△DBH ∴   即    ∴PG= S= ②  t=   提示：如图过点P作MN//AB，则PM⊥AD，PN⊥BC 由题意可知∠EPF=90° 通过相似可得PM=   PN= ME==   NF== 由 可解得t 1 = ，t 2 = (舍去)  （也可用相似法）

（1）过D作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△CDM中，由勾股定理即可求得CD的长； （2）当PE∥CD时，△DPE∽△DBA，可用t表示出DP、DE的长，进而由相似三角形得到的比例线段求得t的值； （3）①易知BC=BD=10，则△DBC是等腰三角形，由于EF∥CD，易证DE=DQ=t，QP=10-t；利用△QPG∽△DBH求得PG的长，然后求△PEF面积表达式； ②利用相似求出MP、PN、ME、NF的长度，然后利用勾股定律求出t的值．