Question

已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[

已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求实数c的最小值．

Answer 1

（1）∵奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（液行-x）=-f（x），解得b=0，
可得f′（x）=3ax²+c
由题意得

b＝0 f′(1)＝0 f(1)＝2

解得，

a＝?1 b＝0 c＝3

，
∴f（x）=-x³+3x；
（2）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
根据（谨裤1）可得f（x）=-x³+3x；
求导得f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，
当f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）为增函闹晌哗数，
当f′（x）＜0时即x＞1或x＜-1，f（x）为减函数，
f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=-1处取得极小值f（-1）=-，2；
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值为4；