Question

已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜a

已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④当a+b=ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是______．（填上你认为正确结论的所有序号）

Answer 1

∵△=（a+b）²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，所以①正确；
∵x₁x₂=ab-1，
∴x₁x₂＜ab，所以②正确；
∵x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2，
∴x₁²+x₂²，＞a²+b²，所以③错误；
∵a+b=ab，
∴x₁+x₂=x₁x₂+1，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，
∴x₁=1，x₂=1．所以④正确．
故答案为①②④．