Question

已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =35，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（I）求

已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =35，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（I）求数列{a n }的通项公式；（II）设数列 { 1 S n } 的前n项和为T n ，求T n ．

Answer 1

（I）设数列的首项为a 1 ，则 ∵S 5 =35，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列 ∴ 5 a 1 +10d=35 ( a 1 +6d ) 2 =( a 1 +d)( a 1 +21d) ∵d≠0，∴d=2，a 1 =3 ∴a n =3+（n-1）×2=2n+1； （II）S n = n(3+2n+1) 2 =n(n+2) ∴ 1 S n = 1 n(n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+2 ) ∴T n = 1 2 (1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 n - 1 n+2 ) = 1 2 (1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 ) = 3 4 - 2n+3 2(n+1)(n+2)