Question

已知函数f(x)＝4x+ax2?23x3(x∈R)．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[-1，1

已知函数f(x)＝4x+ax2?23x3(x∈R)．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；（3）设关于x的方程f(x)＝2x+13x3的两个非零实根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f(x)＝4x+x2?

2

3

x3，
f'（x）=4+2x-2x²=-2（x²-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0?-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0?x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x²，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
?

f′(?1)≥0 f′(1)≥0

??1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)＝2x+

1

3

x3?4x+ax2?

2

3

x3＝2x+

1

3

x3，
2x+ax²-x³=0?x（x²-ax-2）=0
∴

x1+x2＝a x1x2＝?2

?|x1?x2|＝

(x1+x2)2?4x1x2

＝

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