高等数学的问题 这个二重积分的题目答案是4-2√2吗？答案怎么是2-√2，我觉得不对啊。他应该等于
高等数学的问题这个二重积分的题目答案是4-2√2吗？答案怎么是2-√2，我觉得不对啊。他应该等于在第一象限区域积分的4倍啊。求帮忙...
高等数学的问题 这个二重积分的题目答案是4-2√2吗？答案怎么是2-√2，我觉得不对啊。他应该等于在第一象限区域积分的4倍啊。求帮忙
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同学，你好，我仔细算过很多遍了。首先奇偶性你掌握的很好，确实是第一象限的4倍。你的问题是第一象限积分算错了，请细心。（望采纳）
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所以正确答案是2-√2吗
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你用笔算算就知道了－我很肯定。
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由对称性，得
I = 4 ∫<π/4, π/2>dt ∫<0, 1> √[1-(rsint)^2] rdr
= 2 ∫<π/4, π/2>dt ∫<0, 1> [-(csct)^2]√[1-(rsint)^2] d [1-(rsint)^2]
= (4/3) ∫<π/4, π/2>dt [-(csct)^2][1-(rsint)^2]^(3/2) <0, 1>
= (4/3) ∫<π/4, π/2> (csct)^2 [1-(cost)^3)] dt
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [1-(cost)^3)]dt/[1-(cost)^2]
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [1+cost+(cost)^2)]dt/(1+cost)
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [cost+1/(1+cost)] dt
= (4/3)[sint + csct - cott]<π/4, π/2> = 4-2√2
I = 4 ∫<π/4, π/2>dt ∫<0, 1> √[1-(rsint)^2] rdr
= 2 ∫<π/4, π/2>dt ∫<0, 1> [-(csct)^2]√[1-(rsint)^2] d [1-(rsint)^2]
= (4/3) ∫<π/4, π/2>dt [-(csct)^2][1-(rsint)^2]^(3/2) <0, 1>
= (4/3) ∫<π/4, π/2> (csct)^2 [1-(cost)^3)] dt
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [1-(cost)^3)]dt/[1-(cost)^2]
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [1+cost+(cost)^2)]dt/(1+cost)
= (4/3) ∫<π/4, π/2> [cost+1/(1+cost)] dt
= (4/3)[sint + csct - cott]<π/4, π/2> = 4-2√2
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