用极限定义证明当x→x0时,lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)

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Dilraba学长
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2019-12-14 · 听从你心 爱你所爱 无问西东
Dilraba学长
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设limf=A,limg=B≠0。

任给d>0,

因为limf=A,所以存在r>0,

当|x-x0|<r时,成立|f-A|<d①

同理,存在s>0,当|x-x0|<s时,成立|g-B|<d②

因为limg=B≠0,所以存在t>0,当|x-x0|<t时,

成立|g|>|B|/2③【见极限保号性处】

取u=min{r,s,t},则当|x-x0|<u时,①②③都成立。

而|f/g-A/B|=|(Bf-Ag)/gB|

=|(Bf-BA+BA-Ag)/gB|

《(|B||f-A|+|A||g-B|)/|g||B|

<2(|B|d+|A|d)/|B|²=Cd。

其中C=2(|B|+|A|)/|B|²>0。

证毕。

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:

对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想,是数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数(为0得到极大值)以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。

03011956
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设limf=A,limg=B≠0。
任给d>0,
因为limf=A,所以存在r>0,
当|x-x0|<r时,成立|f-A|<d①
同理,存在s>0,当|x-x0|<s时,成立|g-B|<d②
因为limg=B≠0,所以存在t>0,当|x-x0|<t时,
成立|g|>|B|/2③【见极限保号性处】
取u=min{r,s,t},则当|x-x0|<u时,①②③都成立。
而|f/g-A/B|=|(Bf-Ag)/gB|
=|(Bf-BA+BA-Ag)/gB|
《(|B||f-A|+|A||g-B|)/|g||B|
<2(|B|d+|A|d)/|B|²=Cd。
其中C=2(|B|+|A|)/|B|²>0。
证毕。
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