Question

请问limx→0+ (∫x 0 √(x-t)e^t)/√x^3 的详细算法谢谢

Answer 1

分子部分换元u=√(x-t)，t=x-u²

=lim∫(√x到0)ue^(x-u²)d(x-u²)/x^(3/2)

换元m=√x趋于0+整理

=lime^m²*lim∫(0到m)2u²e^(-u²)du/m³

=lim2m²e^(-m²)/3m²

=2/3

应用技巧

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先观察算式，可发现这种需换元法之算式中总含有相同的式子，然后把它们用一个字母替换，推演出答案，然后若在答案中有此字母，即将该式带入其中，遂可算出。

Answer 2

分子部分换元u=√(x-t)，t=x-u²

=lim∫(√x到0)ue^(x-u²)d(x-u²)/x^(3/2)

换元m=√x趋于0+整理

=lime^m²*lim∫(0到m)2u²e^(-u²)du/m³

=lim2m²e^(-m²)/3m²

=2/3

性质1

等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

若a=b

那么a+c=b+c

性质2

等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。

若a=b

那么有a·c=b·c

或a÷c=b÷c （c≠0）

Answer 3

分子部分换元u=√(x-t)，t=x-u²
=lim∫(√x到0)ue^(x-u²)d(x-u²)/x^(3/2)
换元m=√x趋于0+整理
=lime^m²*lim∫(0到m)2u²e^(-u²)du/m³
=lim2m²e^(-m²)/3m²
=2/3

追问

请问您知道为什么极限等于1之后知道ABC都怎么算的？

追答

这个是分子泰勒展开，然后比较不同阶无穷小的系数就出来了