Question

行列式和转置行列式相等的证明过程（已附）有一处不懂

行列式和转置行列式相等的证明过程（已附）有一处不懂画铅笔处 谢谢!

Answer 1

其实这个很好理解
t代表D的项的列标排列的逆序数,t1表示转置行列式的项的列表排列的逆序数,因为列标排列被对换,所以列标排列的奇偶性改变,故(-1)^t1 = -(-1)^t
其实我感觉教科书中的证明并不 充分,它实际只证明了:D的项如果按列标的标准排列进行代数和与按行标的标准排列进行的代数和相等,但 并未完全证明:按列标的标准排列进行的代数和都是D^T的项.只仅仅一句"综上可知:对于D中的任一项,总有且仅有D^T中的某一项与之对应并相等........."我认为是不够的
至少应该加一句:因为转置行列式中各元素,在D同行的仍是同行,在D中同列的仍是同列,在D中不同行的仍不同行,D中不同列的仍不同列,又,行列式等于其不同行不同列的元素乘积的代数和,即D和D^T的各项及其符号均相同,故D=D^T
这样更容易理解

Answer 2

我知道你的困惑点：行标也换了，所以没法知道t1与t的奇偶关系。

实际上，t与t1只与列标有关。t是排列p1…pi...pj...pn的逆序数，t1是pi与pj对换后的排列，也即是排列p1...pj...pi...pn的逆序数。

根据你那本书第5页定理1，一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

所以，t与t1奇偶性相反。

（提示：不要考虑行标，行标与t和t1的奇偶性值毫不相干）

Answer 3

奇排列符号为负，偶排列符号为正，且排列中两元素对换改变奇偶性，故原来的正变为了负，原来的负要变成正，即（-1）^t=-（-1）^t1，

Answer 4

好像是这样

Answer 5

能把铅笔处的单独放大吗？看不清楚
基本就是两逆序数做指数时，那两个指数相等。