Question

拉格朗日中值定理的证明思路

Answer 1

首先，由于点(
a,
f(a)
)和点(
b,
f(b)
)的连线方程是这样的
y=[
(f(b)-f(a))/(b-a)
](x-a)+f(a)
所以构造函数成两曲线距离d与x之间的关系即可：H(x)=f(x)-y
(曲线减去直线)
由于两条线的起点与终点均重合，所以必然符合罗尔定理的条件H(a)=H(b)，然后马上可以用罗尔定理证得。
思路：
1、拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的推广（或者说一般情况），而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推广（或者说特殊情况）。
2、罗尔定理的条件f(a)=f(b)就意味着是点(
a,
f(a)
)和点(
b,
f(b)
)的连线平行于坐标轴的情况，然后求函数f(x)的极值点（等价于求f'(k)=0的点）属于特殊情况。
而拉格朗日中值定理的情况是，罗尔定理的一般情况。(
a,
f(a)
)和点(
b,
f(b)
)的连线已经跟x轴产生夹角了，所以构造函数的时候就要把它的坐标轴转变一下。然后还是跟罗尔定理一样，求出函数H（x）的极值点即可。
大家一起探讨，不足之处请见谅。望采纳。