Question

在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A...

在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=35，sinC=1010． （1）求cos（A+C）的值； （2）若a-c=2-1，求a，b，c的值； （3）已知tan（α+A+C）=2，求12sinαcosα+cos2α的值．

Answer 1

解：（1）∵cos2A=2cos2A-1=35，且A为锐角
∴cosA=255，sinA=1-cos2A=55
∵sinC=1010，且C为锐角
∴cosC=1-sin2C=31010
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=255•31010-55•1010=22
（2）∵cos（A+C）=22，0＜A+C＜π，∴A+C=π4，得B=π-π4=3π4，sinB=22
∵sinA=55，sinB=22，sinC=1010，
∴sinA：sinB：sinC=25：52：10
由正弦定理，得a：b：c=25：52：10，设a=25x，得b=52x，c=10x
∵a-c=2-1，得25x-10x=2-1
∴x=1010，可得a=2，b=5，c=1
（3）由（2）知A+C=π4，得tan（α+π4）=2
∴tanα+tanπ41-tanαtanπ4=2，解之得tanα=13
所以12sinαcosα+cos2α=cos2α+sin2α2sinαcosα+cos2α=1+tan2α2tanα+1=23