Question

8、 设a,b,c,d是正实数,则 (1) (2)

设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,
求证：1/（a+1）^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/（d+1）^2≥1

Answer 1

先证明对x,y>0,有1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
证：上式等价于(1+xy)(1+y)^2+(1+xy)(1+x)^2>=(1+x)^2(1+y)^2
1+xy^3+x^3y>=2xy+x^2y^2
1+xy(x^2+y^2)>=xy(2+xy)
1+xy(x^2+y^2-2-xy)>=0
1+xy[(x-y)^2-2+xy]>=0
xy(x-y)^2+(1-xy)^2>=0
显然成立.
于是我们证明了1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
对于原不等式用上述不等式有：
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1/(1+ab)+1/(1+cd)
利用abcd=1,有1/(1+ab)=cd/(1+cd)
所以1/(1+ab)+1/(1+cd)=cd/(1+cd)+1/(1+cd)=1
也即1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1
得证.