Question

设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n²

（1）求数列{an}的通项公式 （2）设bn=1/(anan+1),设数列｛bn｝的前n项和为Tn求Tn

Answer 1

∵tn=2sn-n²,
∴当n=1时，s1=2s1-1²，即s1=1，
当n≥2时，sn=tn-tn-1=2sn-n²-[2s(n-1)-(n-1)²]=2sn-2s(n-1)-2n+1，
即sn=2s(n-1)+2n-1，
设sn+xn+y=2[s(n-1)+x(n-1)+y]，则sn=2s(n-1)+xn-2x+y，∴x=2，-2x+y=-1，故y=3，
∴sn+2n+3=2[s(n-1)+2(n-1)+3]，
∴数列{sn+2n+3}是首项为s1+2×1+3=6，公比为2的等比数列。
∴sn+2n+3=6×2^(n-1)=3×2^n，故sn=3×2^n-2n-3。

Answer 2

解：
(1)
n=1时，S1=a1=1²=1
n≥2时，
Sn=n²
S(n-1)=(n-1)²
an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足
数列{an}的
通项公式
为an=2n-1。
(2)
bn=1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)