Question

一道数列的题目,大家帮帮忙拉``谢谢

已知数列{an}的首项an=1,并对任意的正整数N,都有an>0,设其前n项和为Sn,若以(an,Sn)(n属于正整数)为坐标的点在抛物线 y=0.5x(x+1) 上运动,则数列{an}的通项公式为什么?

Answer 1

以(an,Sn)(n属于正整数)为坐标的点在抛物线 y=0.5x(x+1) 上运动
所以Sn=0.5an(an+1)
根据公式an=Sn-S(n-1)
所以an=0.5an(an+1)-0.5a(n-1)[a(n-1)+1]
整理得，[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
又数列{an}中an>0,所以an-a(n-1)-1=0，所以an-a(n-1)=1，
所以数列{an}是首项是1，公差为1的等差数列，所以an=n

Answer 2

Sn=0.5an(an+1)
Sn-1=0.5an-1(an-1 +1)
两式相减 an=0.5(an^2+an-(an-1)^2-an-1)
(an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1 -1)=0
因为an>0所以an+an-1>0 所以an-an-1=1
公差1首项1 an=n
注意a后面紧跟的n-1表示下标

Answer 3

把(an,Sn)代入抛物线
Sn=0.5an(an+1)
∵an=Sn-S[n-1]
∴an=0.5an(an+1)-0.5a[n-1](a[n-1]+1)
展开化简
2an=(an+a[n-1])(an-a[n-1])+(an-a[n-1])
an+a[n-1]=(an+a[n-1])(an-a[n-1])
∴an-a[n-1]=0 or an+a[n-1]=0(∵an>0∴舍去)
∴an-a[n-1]=0 and an=1
即an=n