Question

高数微分方程的问题？

太久没碰高数了，本来就是一头雾水现在反应工程学又有这种公式要推导，真不知道怎么算，求大神看看这哪错了，劳烦写一遍

Answer 1

其实你这个大体没错，那个倒数第二行其实就是原方程组的一个基础解系，本身是没有问题的（把这个解代入原微分方程，发现方程成立，所以这就是基础解系），但并不全面，相当于用常数异变法求得的还只是部分解集，没有得到真正的通解。从这个题目来考虑，由于Q(x)带有e指数项，那么在求特解时就可以保留这个e指数，重新构建新的异变常数，即取y=u_2*e^(-k_1*t)，代入原方程后发现e指数部分都可以约掉，然后可以直接取u_2为一个常数就能满足。用这个结果和你的结果合并，就是最终答案。
之所以只用直接方法得到的结果并不全面，这其实是和Q(x)的特点有关系。一般情况下一阶线性常微分方程中的Q(x)往往都是关于x的多项式而不带有指数项，此时常数异变法能够给出完整的结果；但一旦Q(x)带有指数项，由于指数项在求导后本身不发生变化而只是增加了一些系数或表达式，而这种行为正好符合（一阶）线性常微分方程的特点，所以需要额外留心。

Answer 2

如果t，x是同一个变量，就不要用两个变量表示，如果是不同变量，则下式并不成立，你到底是对x还是对t求导都没弄清楚

 

没有原始题目，不清楚你各个变量关系，没法更多说

追问

题目右上角就是，只不过我当时顺手习惯了，就写成了u(x)，我的意思就是x和t等价，这并不影响什么，只是参数不一样罢了

主要的问题是最后的代入环节，在利用常数变异法时我不知道如何代入求解得到常数值

追答

你这样两个变量混用极大的增加了麻烦，如果x就是t，就不要出现两个变量
实际上你的求解过程中假定u(x)是关于x的函数也是不对的，对于左上角的方程求解的C应该是一个固定的常数，不随t变化而变化。你底下求解不断混淆t和x，导致结果很难对，也不是你所谓的带入求解到常数值得问题

其实你这就是y' + k2 y = k1 Ca0 e^(-k1t)
根据y' + k2 y =0得到通解y = Ce^(-k2t)
然后设y* = ae^(-k1t)求特解，带入得到
y*' +k2y = -k1 y* + k2 y* =(k2-k1)ae^(-k1t) = k1 Ca0 e^(-k1t)
得到a= k1Ca0/(k2-k1)
得到最后得解为y +y* =Ce^(-k2t) +k1Ca0/(k2-k1)e^(-k1t)

Answer 3

解答如下：

追问

就是这个代入初始条件的地方能够细写一下吗，感谢

追答

题目中没有给出初始条件 ？ 图片太乱，你给出初始条件吧。

追问

呃，没有，只给了你开头的那个式子，最后的结果就是我那个图最底下的，所以我怎么都没想明白。。

不过感谢你的回答，我算是找到我的问题在哪儿了，我都忘了有这个公式了，剩下的条件的话，我自己琢磨一下吧

追答

你往前找， 或根据实际问题写出初始条件，没有初始条件结果总会带着积分常数的。

Answer 4

告诉我的微积分上面的很多方程问题，我们都可以直接进行解决的，所以学习微信分是非常重要的。一定要进利得用高速来解决这种细分的微积分方程。

Answer 5

cp' + k2.cp=0
cp' = -k2.cp
∫dcp/cp = -∫k2.dt
ln|cp| = -k2.t + C'
cp = C.e^(-k2.t)