Question

已知a∈R，讨论函数f（x）=ln（x-1）-ax的单调性并求相对应的单调区间．

Answer 1

求出函数的定义域及导函数，通过对a的分类讨论判断出导函数的符号，根据导函数的符号与函数单调性的关系写出单调区间．
【解析】
函数f（x）=ln（x-1）-ax的定义域为（1，+∞），
f′（x）= ，
（1）当a=0时，f′（x）= ＞0；所以f（x）在（1，+∞）上递增；
（2）当a≠0时，f′（x）= =
当a＞0时，令f′（x）=0，解得
所以函数f（x）在x∈（1， ）时，f′（x）＞0，
函数f（x）在a＞0时，x∈（1， ）时为增函数，单调增区间为（1， ）；
x∈（ ）为减函数，单调减区间为（ ）
当a＜0时，f′（x）= = ＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；
综上，当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（1， ）；单调减区间为（ ）
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；