Question

解方程: log以2为底(4-x)的对数-log以4为底 (x-1)的对数=1

Answer 1

解方程: log以2为底(4-x)的对数-log以4为底 (x-1)的对数=1

换底公式
lg(4-x)/lg2-lg(x-1)/lg4=1
lg(4-x)/lg2-lg(x-1)/2lg2=1
两边乘2lg2
2lg(4-x)-lg(x-1)=2lg2
lg(4-x)²-lg(x-1)=2lg2
lg[(4-x)²/(x-1)]=lg2²
(4-x)²/(x-1)=4
x²-8x+16=4x-4
x²-12x+20=0
x=2,x=10
真数大于0
4-x>0,x-1>0
所以x=2

解方程log以2为底（4^x+6）的对数=x+log以2为底5的对数

log2(4^x+4)=x+log2(5)
log2(4^x+4)-log2(5)=x
等号左边商法则，减变除，右边由对数恒等式有
log2[(4^x+4)/5] =log2(2^x)
(4^x+4)/5 =2^x
2^2x - 5*2^x +4=0
令2^x=t (t>0)
t^2-5t+4=0
t=1或4
t=1, x=0 t=4, x=2
所以方程的解是x=0或x=2

解方程lg以2为底x-1的对数=2-log2为底x+1的对数

log2(x-1)+log2(x+1)=2
log2[(x-1)(x+1)]=2
log2(x^2-1)=2
x^2-1=2^2
x^2=5
x=±√5

解方程:log以2的(2^x-1)的对数*log以2为底的(2^(x+1)-2)的对数=2

解：因为，log以2为底的(2^x-1)的对数*log以2为底的[2*(2^x-1)]的对数=2
所以，log以2为底的(2^x-1)的对数*[log以2为底的2的对数+log以2为底的(2^x-1)的对数]=2
令：log以2为底的(2^x-1)的对数=y
则，y*(1+y)=2 所以，y²+y-2=0 即：(y-1)(y+2)=0
解之，y=1, y=-2
1、 当y=1 时，log以2为底的(2^x-1)的对数=1
所以， 2^x-1=2
所以，2^x=3
所以，x=log以2为底的3的对数
2、当y=-2 时，log以2为底的(2^x-1)的对数=-2
所以， 2^x-1=2^(-2)=1/4
所以，2^x=5/4
所以，x=log以2为底的5/4的对数
因为由原题的x取值范围得：2^x-1>0,
所以，2^x>1
所以，x>0
因为，3>1, 5/4>1
所以，x1=log以2为底的3的对数>0,
x2=log以2为底的5/4的对数>0
经检验：x1=log以2为底的3的对数；x2=log以2为底的5/4的对数均是原方程的根

解方程1/（log以3x为底3的对数） 加上 (log以3为底x的对数)^2=3

1/（log以3x为底3的对数） 加上 (log以3为底x的对数)^2=3
3x>0，3x≠1，x>0
[1/(log(3x)(3))]+[log(3)(x)]^2=3
又因为[1=log(3x)(3x)]
所以[log(3x)(3x)/log(3x)(3)]+[log(3)(x)]^2=3
又因为[log(3x)(3x)/log(3x)(3)=log(3)(3x)]即{log(c)(b)/log(c)(a)=log(a)(b)}
所以log(3)(3*x)+[log(3)(x)]^2=3
又因为[log(3)(3*x)=log(3)(3)+log(3)(x)]即{log(a)(b*c)=log(a)(b)+log(a)(c)}
所以[log(3)(3)]+[log(3)(x)]+[log(3)(x)]^2=3
所以1+log(3)(x)+[log(3)(x)]^2=3
所以log(3)(x)+[log(3)(x)]^2=2
所以[log(3)(x)+1/2]^2-1/4=2
所以[log(3)(x)+1/2]^2=9/4
所以log(3)(x)+1/2=±3/2
所以log(3)(x)=-1/2±3/2
所以x=3^(-1/2±3/2)
x=3^1=3或x=3^(-2)=1/9
x=3或x=1/9
以下，考试过程
[1/(log(3x)(3))]+[log(3)(x)]^2=3
[log(3x)(3x)/log(3x)(3)]+[log(3)(x)]^2=3
log(3)(3*x)+[log(3)(x)]^2=3
[log(3)(3)]+[log(3)(x)]+[log(3)(x)]^2=3
1+log(3)(x)+[log(3)(x)]^2=3
[log(3)(x)+1/2]^2=9/4
log(3)(x)=-1/2±3/2
x=3^1=3或x=3^(-2)=1/9
x=3或x=1/9

log以2为底2的x次方+1的对数乘以log以2为底2的x+1次方+2的对数=2解方程

令a=2^x+1
则2^(x+1)+2=2a
所以log2(a)*log2(2a)=2
log2(a)*[log2(2)+log2(a)]=2
[log2(a)]²+log2(a)-2=0
[log2(a)+2][log2(a)-1]=0
log2(a)=-2，log2(a)=1
a=1/4，a=2
2^x+1=1/4
2^x=-3/4<0
无解
2^x+1=2
2^x=1
所以x=0

log以3为底(x-1)的对数=log以9为底(x+5)的对数

(x-1)^2=(x+5)
x=4
x=-1(舍去）
说明：对数的底数，真数可以同时乘方。
方程必须验根。

解方程:log以5为底,5的x次方减1的对数乘log以5为底,5的x-1次方减5分之1的对数=6

ln(5^x-1)/ln(5)*ln(5^(x-1)-1/5)/ln(5)=6
>>ln(5^x-1)*ln(5^(x-1)-1/5)=6*ln(5)*ln(5)=ln(e^6)*ln(5)*ln(5)
>>ln(5^x-1+5^(x-1)-1/5)=ln(e^6+5+5)
>>(5^x-1)*6/5=e^6+10
>>5^x=(e^6+10)*5/6+1=345.523994577283
>>x=ln(345.523994577283)/ln(5)
>>x=3.63174127096652

解方程：x的log以2为底x的对数=32x的4次

x^[log2(x) -4]=32x^4
x^[log2(x) -4]=2^5
log2(x) -4=log2(2^5) / log2(x) =5/log2(x)
[log2(x)]^2 -4log2(x) -5=0
[log2(x) -5][log2(x) +1] =0
log2(x) =5 ====> x=2^5
或者
log2(x)=-1 ====> x=1/2

解下列方程：8^y=4^(2x+3) log以2为底y的对数=log以2为底x的对数+4

8^y=4^(2x+3)
解：原式变形为：2^3y=2^2(2x+3)
所以 3y=2(2x+3) 即3y=4x+6 1>
log2y=log2x+4 变形为，log2(y\x)=log2(2^4)
所以 y\x=2^4 即y=16x 2>
1> 与2>联立得48x=4x+6 x=3\22 y=24\11