Question

一道初三数学题（有关一元二次方程）

已知a、b、c为△ABC三边之长，且方程（6—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根，求证△ABC为等边三角形
修改为：已知a、b、c为△ABC三边之长，且方程（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根，求证△ABC为等边三角形

Answer 1

（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0
b²-2bx+x²-4ac+4ax+4cx-4x²=0
-3x²+4ax+4cx-2bx+b²-4ac=0
-3x²+(4a+4c-2b)x+(b²-4ac)=0
根据两个相等的实数根可知方程的b²-4ac=0
[(4a+4c)-2b]²-4(-3)(b²-4ac)=0
(4a+4c)²-4b(4a+4c)+4b²+12b²-48ac=0
16a²+32ac+16c²-16ab-16bc+16b²-48ac=0
16a²+16b²+16c²-16ab-16bc-16ac=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因为(a-b)²>=0
(b-c)²>=0
(a-c)²>=0
所以只有当a=b=c时方程(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0才成立
所以△ABC为等边三角形

Answer 2

已知a、b、c为△ABC三边之长，且方程（6—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根，求证△ABC为等边三角形。
解:
（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0
得:-3x^2+4(a+c-b/2)x+b^2-4ac=0

有两个相等的实数根:△=0
△=4^2*(a+c-b/2)^2-4*(-3)*(b^2-4ac)=0

整理得:a^2+b^2+c^2-ac-ab-bc=0

同乘以2:2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2ab-2bc=0

a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0

非负数和为零
当且仅当都为0

a-b=b-c=a-c=0

a=b=c

△ABC为等边三角形
证毕

Answer 3

题目打错了吧！题目没b，6是不是b