Question

如图，在直角梯形COAB中，OC‖AB，以O为原点建立平面直角坐标系

如图，在直角梯形COAB中，OC‖AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，10)，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的2\7 ？
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

Answer 1

由题目得知：直角梯形OABC面积是56，三角形OCD面积是8. (具体过程略)

第一问很简单，直接给出答案 y=(3/4)*x+4 ，D(4,7) (过程略)

第二问：过D作垂线DH垂直OA，垂足是H，梯形OCDH面积是22，要使得四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的2\7，所以四边形PODC面积是56*2/7=16＜22,所以这时P位于OH之间.
分析得：S梯形OHDC-S四边形OPCD=S三角形PDH
根据这个等量关系列出式子：22-56*2/7=7/2(4-t)
解得：t=16/7

第三问稍微复杂一些，我想你问的也就是第三问，所以我说的详细一些。
分三种情况
1.0＜t≤8,(P在OA上)
S三角形OPD=(7/2)*t
2.8＜t≤18,(P在AB上)
S三角形OPD=S梯形OCAB-S三角形OCD-S三角形OAP-S三角形PBD
=56-8-4*(t-8)-2(18-t)=44-2t
(此时AP=t-8, BP=18-t)
3.18＜t＜23,(P在BD上)
S三角形OPD=S梯形OCAB-S三角形OCD-S三角形OPA-S三角形ABP
=56-8-4[10-3/5(t-18)]-5(t-18)*4/5=184/5-(32/5)*t

自己对照着图，看我的过程更好理解，能否追加分？

Answer 2

1)B（8，10），C（4，0），故BC直线方程为(y-10)/(4-10)=(x-8)/(0-8),
y=3x/4+4;
2)CO=4,AB=10-0=10,AO=8,所以梯形面积S COAB=(4+10)*8/2=56。P无论怎么移动，四边形OPDC都在梯形COAB内
3）又D的坐标为（4，7）
当P在OA上，设P坐标（x，0）0≤x≤8,t=x，
故S∠OPD=x*7/2=3.5x=3.5t，0≤t≤8
当P在AB上，设P坐标（8，y）10≥y≥0，t=8+y，故8≤t≤18；
故S∠OPD=S COAB-S∠COD-S∠OAP-S∠BPD
=56-4*4/2 -8*y/2-(10-y)*4/2
=56-8-4y-20+2y
=28-2y
=28-2(t-8)
=44-2t,8≤t≤18
当P在BD上，设P(x,y),8≥x≥4，10≥y≥6又直线BC方程y=5x/2-10，故P（x,3x/4+4）;
此时t=OA+AB+BP
=8+10+√[(8-x)^2+(10-y)^2]
=18+√[25(8-x)^2/16]
=18+5/4(8-x)
=28-5x/4；
所以4≤x=4/5 (28-t)≤8，故18≤t≤23
S∠OPD=S COAB-S∠COD-S∠OAP-S∠APB
=56-4*4/2-8*y/2-10*(8-x)/2
=56-8-4y-40+5x
=8-4(3x/4+4)+5x
=2x-8
=2*4/5*(28-t)-8
=184/5 -8t/5

故关系式为：
S=3.5t，0≤t≤8
S=44-2t,8≤t≤18
S=184/5 -8t/5，18≤t≤23