Question

设a、b为实数，试求M=a^2+2ab+2b^2-4b+5的最小值，并求出此时a、b的值。

马上要用！~~拜托各位！~

Answer 1

解：M=a^2+2ab+2b^2-4b+5
=(a^2+2ab+b^2)+(b^2-4b+4)+1
=(a+b)^2+(b-2)^2+1
因为(a+b)^2>=0,(b-2)^2>=0
所以(a+b)^2+(b-2)^2+1>=0
当(a+b)^2=0和(b-2)^2=0同时成立时取等号
此时b-2=0,b=2
a+b=0,a=-b=-2

所以a=-2,b=2时，最小值=1

Answer 2

解：M=a^2+2ab+2b^2-4b+5
=(a^2+2ab+b^2)+(b^2-4b+4)+1
=(a+b)^2+(b-2)^2+1
因为(a+b)^2>=0,(b-2)^2>=0
所以(a+b)^2+(b-2)^2+1>=0
当(a+b)^2=0和(b-2)^2=0同时成立
此时b-2=0,b=2
a+b=0,a=-b=-2

所以a=-2,b=2时， -1