Question

在△ABC中,tanAtanb>1,则△ABC为什么三角形

在△ABC中,tanAtanb>1,则△ABC为什么三角形 过程

Answer 1

锐角三角形

①
如果三角形为锐角三角形，则有
C<π/2
cosC>0
cos(A+B)=-cosC<0
cosAcosB-sinAsinB<0
sinAsinB>cosAcosB
由于三角形为锐角三角形，cosA>0, cosB>0
所以tanAtanB>1

②
如果tanAtanB>1
说明tanAtanB>0
因为sinAsinB>0，所以cosAcosB>0，这说明A和B同为锐角或者同为钝角
因为A和B均为三角形内角，
所以AB同为锐角
由此有sinAsinB>cosAcosB
所以cosAcosB-sinAsinB<0
cos(A+B)<0
所以π>A+B>π/2，由此C<π/2
因此三角形为锐角三角形

综合①②，可知
在三角形ABC中，tanAtanB>1是三角形为锐角三角形的充分必要条件。