Question

证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，R是一个除环

Answer 1

证：设V为R中非零元构成的集合。由题意知V中至少含有一个元。对于任意a，b属于V，因为R中的乘法构成半群，所以a*b属于R。因为R是无零因子环，a和b都不等于0，所以a*b属于V，即V对乘法运算满足封闭性。显然任何V里的元对乘法满足结合律，所以V对乘法构成半群。又因为R是无零因子环，乘法满足消去律，故V中的乘法也满足消去律。因此，任意一个满足消去律的有限半群构成一个群。于是R中所有非零元构成群，故R是一个除环。

Answer 2

证：设V为R中非零元构成的集合。由题意知V中至少含有一个元。对于任意a，b属于V，因为R中的乘法构成半群，所以a*b属于R。因为R是无零因子环，a和b都不等于0，所以a*b属于V，即V对乘法运算满足封闭性。

Answer 3

R对于乘法满足是半群，又因为有限和无零因子换满足消去率，这满足有限半群构成群的定义，所以R对乘法满足群的性质，对所以非零元有逆，又因为题中说至少含两个元素，则至少有一个非零元。即R是一个除环

Answer 4

证明： 没有零因子的环满足消去律，又因为其有限且至少含有两个元素，所以该换是一个除环。