Question

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列

（1）求证：0＜B≤π/3 （2）求y=1+sin2B/sinB+cosB的取值范围 要具体步骤！

Answer 1

(1).∵b²=ac, 由余弦定理可知:
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²+c²-ac)/(2ac)≥(2ac-ac)/(2ac)=1/2
∵cosB为减函数, ∴0＜B≤60°

(2)(sinB+cosB)²=1+2sinBcosB=1+sin2B
令sinB+cosB=a 则sin2B=a²-1
∴y=a^2/a=a=sinB+cosB=√2*sin(B+45º)
又0＜B≤60º====>45º＜B+45º≤105º
∴1＜y≤√2 (若B+45º=90º,sin90º=1,最大值Y=√2)

Answer 2

a/b/c = sinA/sinB/sinC
根据题意 b^2 = a *c ，即 (sinB)^2= sinA * sinC
(sinB)^2 = (cos(A-C) - cos(A+C))/2
(sinB)^2 = cos(A-C)/2+ cosB/2

根据对称性，不妨设 A>=B>= C则
则 180= A+B+C >= 2B+C
从而 0<B<π/2, π > A-C>=0

设cosB= x，1>x> 0 则

1- x^2 = cos(A-C)/2+x/2

x^2+ x/2 = 1 -cos(A-C)/2 >= 1-1/2=1/2
(x+1/4)^>=1/2+1/16=9/16

x+1/4 >=3/4
x>=1/2
即cosB>=cos(π/3)
所以0＜B≤π/3

（2）y=1+sin2B/sinB+cosB = 1+ 2*sinB*cosB/sinB+cosB
=1+3cosB
根据（1）的解可以知道
1>cosB>=1/2
所以 1+ 3*1 > y >= 1+3*1/2
即 5/2=<y<4