Question

已知a.b.c∈R+ ，用综合法证明

1.（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)≥16abc
2. 2(a^3 +b^3 +c^3 )≥a^2 (b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 1

1，（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2√a*2√b*2√ac*2√bc=16abc
2，a^3+b^3-a^2*b-b^2*a=(a-b)^2(a+b)≥0，所以a^3+b^3≥a^2*b+b^2*a
同理b^3+c^3≥b^2*c+c^2*b，a^3+c^3≥a^2*c+c^2*a
左边与左边相加，右边与右边相加，整理即可得到

Answer 2

[ln(x)]=1/x>0，[ln(x)]''=-1/x�0�5<0 ，所以 ln(x) 在 (0,+∞) 上是严格单调增加的上凸的函数，所以 [m/(m+n)]*ln(n)+[n/(m+n)]*ln(m) ≤ ln{[m/(m+n)]*n+[n/(m+n)]*m} = ln[2mn/(m+n)] ≤ ln[(m+n)/2]，即 (m+n)/2 ≥ [(m^n)*(n^m)]^[1/(m+n)] 。