Question

高二数学数列题

已知数列an，a1=A，前n项和Sn=n的平方+2n，求通项公式an

Answer 1

1.
a(n+2)/an=q²，数列{a(2n)}是以q²为公比的等比数列。
Sn=a2[(q²)ⁿ-1]/(q²-1)=a2[q^(2n) -1]/(q²-1)
2.
n≥2时，x=a(n-1) y=an代入y=2x-1
an=2a(n-1)-1
an-1=2a(n-1)-2=2[a(n-1)-1]
(an -1)/[a(n-1)-1]=2，为定值。
a1-1=2-1=1，数列{an -1}是以1为首项，2为公比的等比数列
an -1=1×2^(n-1)=2^(n-1)
an=2^(n-1) +1
a1+a2+...+a10=(1+2+...+2^9)+10=1×(2^9 -1)/(2-1) +10=512-1+10=521
3.
[2/a(n+1)]/(2/an)=an/a(n+1)=1/q
数列{2/an}是以2/a1为首项，1/q为公比的等比数列。
M/N=[a1(qⁿ-1)/(q-1)]/[(2/a1)(1-1/qⁿ)/(1- 1/q)]
=[a1²(qⁿ-1)/(q-1)]/[2q(qⁿ-1)/qⁿ(q-1)]
=2a1²q^(n-1)
=2a1an
4.
lgx+lg(x²)+...+lg(x^10)=110
lgx+2lgx+...+10lgx=110
(1+2+...+10)lgx=110
55lgx=110
lgx=2 (lgx)ⁿ=2ⁿ
lgx+(lgx)²+...+(lgx)^10=2+2²+...+2^10=2×(2^10 -1)/(2-1)=2^11 -2=2046
5.
S3/S2=3/2

a1(1+q+q²)/[a1(1+q)]=3/2
整理，得
2q²-q-1=0
(q-1)(2q+1)=0
q=1或q=-1/2，选B
6.
考察一般项：
1+2+...+2^(n-1)=1×(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ-1
所求和=(2+2²+...+2ⁿ) -n=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n=2^(n+1) -n-2，选B
7.
a1an=a2a(n-1)=128，又a1+an=66，a1、an是方程x²-66x+128=0的两根。
(x-64)(x-2)=0
x=64或x=2
a1=2 an=64或a1=64 an=2
Sn=a1(qⁿ-1)/(q-1)=(qan -a1)/(q-1)
(1)
a1=2 an=64时，
Sn=(64q-2)/(q-1)=126
62q=124
q=2
an=a1q^(n-1)=2×2^(n-1)=2ⁿ=64
n=6
(2)
a1=64 an=2时，
Sn=(2q-64)/(q-1)=126
62=124q
q=1/2
an=a1q^(n-1)=64×(1/2)^(n-1)=2^(7-n)=2

7-n=1
n=6
综上，得q=2或q=1/2，n=6

8.
S(2n)=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n)
=(a1+a2+...+an)+qⁿ(a1+a2+...+an)
=(1+qⁿ)(a1+a2+...+an)
=(qⁿ+1)Sn
qⁿ+1=S(2n)/Sn=6560/80=82
qⁿ=81 q≠1
Sn=a1(qⁿ-1)/(q-1)=80a1/(q-1)=80
a1/(q-1)=1
a1=q-1 a1>0 因此q>1，数列为递增等比数列，前n项中的最大项为第n项。
an=a1q^(n-1)=(q-1)q^(n-1)=qⁿ-q^(n-1)=81-q^(n-1)=54
q^(n-1)=81-54=27
q=qⁿ/q^(n-1)=81/27=3 a1=q-1=3-1=2
an=a1q^(n-1)=2×3^(n-1)
满意请采纳。

Answer 2

A=a1=S1=3，
当n>1时，an=Sn-S(n-1)=2n+1，且a1=3适合上式，
所以，通项公式为an=2n+1。

Answer 3

要加上A=3 与A不等于3 的情况

Answer 4

n=1时，a1=S1=3
n≥2时
an=Sn-S(n-1)
=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]
=2n+1
当n=1时，a1=3，符合上式
∴an=2n+1 (n∈N+）

Answer 5

当n>=2时，an=Sn-S（n-1)=2n+1
若A=3，此时an=2n+1
若A≠3，此时an分段为：n=1时an=A；
n>=2时，an=2n+1